шар и цилиндр

[zewgma]

Оригинал взят у panoramov в шар и цилиндр

Сфера вписана в цилиндр. Как вы думаете, что больше: площадь сферы или внешняя поверхность трубки, длина которой равна диаметру?


Если сомневаетесь, можете проверить свою интуицию расчетом.

Вырежем из бумаги ленту и обернем теннисный шарик:



1. Шарик кладем на край ленты и отмечаем его диаметр (CD используется как угольник).


2. Cкручиваем и отрезаем полоску, ширина которой равна диаметру шарика


3. Вот такая композиция получится, если обернуть теннисный шарик бумажной лентой. Отмечаем место перехлеста.


4. Смотрим: карандаш касается шарика и краев трубки.



Разворачиваем ленту и обрезаем по отметке. Посчитаем квадратики: больших квадратиков три с хвостиком. Три с чем-то... что-то напоминает?



Да! Это 3,14... - то самое знаменитое число π. Таким образом, площадь трубки πd², где d - диаметр. 
Просто мысленный эксперимент (длина окружности по экватору умноженная на высоту цилиндра) даёт тот же результат.

Совпадает с известной формулой площади сферы 4πr², где r=d/2 - радиус.

Первым открыл это равенство Архимед. Более того, он открыл, что площадь сферы составляет 2/3 всей поверхности цилиндра (суммы поверхности трубки и двух кружочков сверху и снизу, каждый из которых имеет площад πr²) и объем сферы тоже 2/3 объема цилиндра. Причем, равенство справедливо не только для целой сферы, но и для её части: если рассечь сферу параллельными плоскостями, то площадь части сферы между плоскостями будет равна площади части описанного цилиндра. 

Comments

[vovanium.livejournal.com]

Здесь открываются ещё более интересные вещи. Если взять эту конструкцию (шар обёрнутый лентой), и порезать дольками, то каждый кусочек ленты и шара окажется равным по площади — ну, это должно быть очевидно тому, кто узнал про равенство, но! Если эту конструкцию порезать кружочками (параллельно «экватору», где лента касается шара), то площади получившихся долек всё равно будут равны! И даже можно порезать и так, и этак, получив кучу разных четырёхугольных кусочков одинаковой площади.

[vovanium.livejournal.com]

Из всего этого кстати следуют (или предшествуют) интересные вещи.

Каждый вырезанный кусочек шара имеет вид слегка искажённой трапеции (и чем меньше кусочек, чем менее искажённой), и раз площади их равны, значит высота должна быть обратно пропорциональна ширине на половине высоты. То есть насколько он оказывается сплющен с боков, ровно настолько растянут в высоту. Если это обнаружить, то равенство площадей уже не кажется таким уж случайным.

Поставив в соответствие разрезанные кусочки шара и цилиндра мы получаем проекцию с одного в другое и обратно причём проекция участка любой формы будет иметь ту же форму. Так можно, например, отобразить карту мира на цилиндр, развернуть и определять площадь морей и гор, вырезая и взвешивая. Это называется равновеликая цилиндрическая проекция.

[zewgma.livejournal.com]

вот, а по географии это проходят задолго до стереометрии - безобразие.
Помню - у меня было в 6 классе задание на контурной карте обозначить направление на север с какой-то точки очень близко к Южному полюсу. Я прочертила по меридиану. А учительница исправила на строго вертикальное!

[vovanium.livejournal.com]

Ну, на географии не учат строить эти самые проекции. Моя учительница было исправила расчёску на растчёску, чего уж там.

[zewgma.livejournal.com]

У Толика в началке учительница неправильно решала задачку с процентами, он мне показывал, что, ему кажется. решение должно быть таким, а у учительницы - вот так. и он был прав.