шар и цилиндр
Feb. 8th, 2013 07:04 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
zewgmaОригинал взят у ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
panoramov в шар и цилиндр
panoramov в шар и цилиндрСфера вписана в цилиндр. Как вы думаете, что больше: площадь сферы или внешняя поверхность трубки, длина которой равна диаметру?
Если сомневаетесь, можете проверить свою интуицию расчетом.
Вырежем из бумаги ленту и обернем теннисный шарик:
1. Шарик кладем на край ленты и отмечаем его диаметр (CD используется как угольник).
2. Cкручиваем и отрезаем полоску, ширина которой равна диаметру шарика
3. Вот такая композиция получится, если обернуть теннисный шарик бумажной лентой. Отмечаем место перехлеста.
4. Смотрим: карандаш касается шарика и краев трубки.
Разворачиваем ленту и обрезаем по отметке. Посчитаем квадратики: больших квадратиков три с хвостиком. Три с чем-то... что-то напоминает?
Да! Это 3,14... - то самое знаменитое число π. Таким образом, площадь трубки πd2, где d - диаметр.
Просто мысленный эксперимент (длина окружности по экватору умноженная на высоту цилиндра) даёт тот же результат.
Совпадает с известной формулой площади сферы 4πr2, где r=d/2 - радиус.
Первым открыл это равенство Архимед. Более того, он открыл, что площадь сферы составляет 2/3 всей поверхности цилиндра (суммы поверхности трубки и двух кружочков сверху и снизу, каждый из которых имеет площад πr2) и объем сферы тоже 2/3 объема цилиндра. Причем, равенство справедливо не только для целой сферы, но и для её части: если рассечь сферу параллельными плоскостями, то площадь части сферы между плоскостями будет равна площади части описанного цилиндра.
Если сомневаетесь, можете проверить свою интуицию расчетом.
1. Шарик кладем на край ленты и отмечаем его диаметр (CD используется как угольник).
2. Cкручиваем и отрезаем полоску, ширина которой равна диаметру шарика
3. Вот такая композиция получится, если обернуть теннисный шарик бумажной лентой. Отмечаем место перехлеста.
4. Смотрим: карандаш касается шарика и краев трубки.
Разворачиваем ленту и обрезаем по отметке. Посчитаем квадратики: больших квадратиков три с хвостиком. Три с чем-то... что-то напоминает?
Да! Это 3,14... - то самое знаменитое число π. Таким образом, площадь трубки πd2, где d - диаметр.
Просто мысленный эксперимент (длина окружности по экватору умноженная на высоту цилиндра) даёт тот же результат.
Совпадает с известной формулой площади сферы 4πr2, где r=d/2 - радиус.
Первым открыл это равенство Архимед. Более того, он открыл, что площадь сферы составляет 2/3 всей поверхности цилиндра (суммы поверхности трубки и двух кружочков сверху и снизу, каждый из которых имеет площад πr2) и объем сферы тоже 2/3 объема цилиндра. Причем, равенство справедливо не только для целой сферы, но и для её части: если рассечь сферу параллельными плоскостями, то площадь части сферы между плоскостями будет равна площади части описанного цилиндра.
