zewgma | шар и цилиндр

Оригинал взят у

Сфера вписана в цилиндр. Как вы думаете, что больше: площадь сферы или внешняя поверхность трубки, длина которой равна диаметру?
шарик в цилиндре

Если сомневаетесь, можете проверить свою интуицию расчетом.

Вырежем из бумаги ленту и обернем теннисный шарик:

1. Шарик кладем на край ленты и отмечаем его диаметр (CD используется как угольник).

2. Cкручиваем и отрезаем полоску, ширина которой равна диаметру шарика

3. Вот такая композиция получится, если обернуть теннисный шарик бумажной лентой. Отмечаем место перехлеста.

4. Смотрим: карандаш касается шарика и краев трубки.

Разворачиваем ленту и обрезаем по отметке. Посчитаем квадратики: больших квадратиков три с хвостиком. Три с чем-то... что-то напоминает?

вуаля!

Да! Это 3,14... - то самое знаменитое число π. Таким образом, площадь трубки πd², где d - диаметр.
Просто мысленный эксперимент (длина окружности по экватору умноженная на высоту цилиндра) даёт тот же результат.

Совпадает с известной формулой площади сферы 4πr², где r=d/2 - радиус.

Первым открыл это равенство Архимед. Более того, он открыл, что площадь сферы составляет 2/3 всей поверхности цилиндра (суммы поверхности трубки и двух кружочков сверху и снизу, каждый из которых имеет площад πr²) и объем сферы тоже 2/3 объема цилиндра. Причем, равенство справедливо не только для целой сферы, но и для её части: если рассечь сферу параллельными плоскостями, то площадь части сферы между плоскостями будет равна площади части описанного цилиндра.